Lecture 2: Story Proofs, Axioms of Probability

✔  본 글은 Harvard Univ. Statistics 110: Probability 강의 "Lecture 2: 해석을 통한 문제풀이 및 확률의 공리 (Story Proofs, Axioms of Probability)"를 바탕으로 정리한 내용입니다.

📌 강의 영상: YouTube

📄 강의 슬라이드: PDF 링크

---

Sampling

	순서 중요 (order matter)	순서 상관없음 (order doesn't)
복원 추출 (replace = 중복 허용)	\( n^k \)	\( \binom{n + k - 1}{k} \)
비복원 추출 (don't replace = 중복 비허용)	\( n(n-1)\cdots(n-k+1) \)	\( \binom{n}{k} \)

 

다른 경우들은 대부분 곱의 법칙으로 처리되지만, 순서 상관없이 복원을 허용하는 경우는 조합론적 접근이 필요하다.

• \( k = 0 \)일 때: \[   \binom{n + 0 - 1}{0} = \binom{n - 1}{0} = 1  \]     → 아무것도 고르지 않는 경우는 항상 1가지.
• \( k = 1 \)일 때: \[   \binom{n + 1 - 1}{1} = \binom{n}{1} = n   \]    → n개 중에서 하나를 중복 가능하게 고르는 경우, n가지.
• \( n = 2 \)일 때: \[   \binom{2 + k - 1}{k} = \binom{k + 1}{k} = \binom{k + 1}{1} = k + 1  \]   → 2개 중에서 중복을 허용하며 k개를 고르는 경우의 수는 항상 \(k + 1\)가지.  
     (예: (A...A), (A...AB), ..., (B...B))

 

 

Story proof: proof by interpretation

1. \[ \binom{n}{k} = \binom{n}{n - k} \]
→ 조합의 대칭성. k개를 고르는 경우는 (n−k)개를 버리는 경우와 같음.

 

2. \[ n \times \binom{n - 1}{k - 1} = k \times \binom{n}{k} \]
→ 조합의 계수 성질. 왼쪽은 "특정 원소를 포함한 조합 수", 오른쪽은 "선택된 k개 중 1개를 고르는 경우 수"를 의미함.

 

3. \[ \binom{m + n}{k} = \sum_{j = 0}^{k} \binom{m}{j} \binom{n}{k - j} \]

→ 방더몽드 항등식 (Vandermonde's identity): m개와 n개로 나뉜 집합에서 총 k개를 고르는 모든 방법의 수. j개를 m에서, (k−j)개를 n에서 고르는 경우의 합으로 표현됨.

 

Non-naïve definition of probability

모두 같은 확률을 가지지 않는 상황이며 결과의 경우의 수가 유한하지 않은 경우를 단순하지 않은 정의(Non-naïve definition of probability)라고 부른다.

확률 공간(Probability Space)

확률 공간에는 두 가지 성분인 \( S \)(표본공간, Sample Space)과 \( P \)(확률 함수)가 존재한다. \( S \)는 어떤 실험의 모든 가능한 결과들의 집합이며, \( P \)는 이 집합의 부분집합을 입력으로 받아 확률 값을 출력하는 함수이다.

즉, 사건 \( A \)는 \( S \)의 부분집합이고, \( P \)는 이 \( A \)를 입력으로 받아 \[P(A) \in [0, 1]\] 의 값을 출력한다. \( P \)의 정의역은 \( S \)의 부분집합 전체이며, 공역은 실수 구간 \([0, 1]\)이 된다.

 

확률은 다음 두 가지 공리를 만족해야 한다:

• \( P(\varnothing) = 0 \), \( P(S) = 1 \)
• 서로소인 사건 \( A_i, A_j \)에 대해,  
    \[
    P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)
    \]

→ 이 두 공리로부터 대부분의 확률 성질을 유도할 수 있다.