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✔ 본 글은 Harvard Univ. Statistics 110: Probability 강의 "Lecture 7: 도박꾼의 파산 문제와 확률변수 (Gambler's Ruin and Random Variables)"를 바탕으로 정리한 내용입니다.📌 강의 영상: YouTube📄 강의 슬라이드: PDF 링크Gambler's Ruin도박꾼 A와 B가 매 라운드 $1씩 걸며 한 쪽이 파산할 때까지 진행하는 게임을 말한다.\( p = P\bigl(A\ \text{가 한 라운드를 이긴다}\bigr) \)\( q = 1 - p \)0, N은 흡수상태(absorbing state), 즉 게임 종료\( p_i \): A가 i 달러로 시작하여 게임을 이길 확률 = P(A가 게임을 이길 확률 | A가 i 달러를 가지고..

✔ 본 글은 Harvard Univ. Statistics 110: Probability 강의 "Lecture 6: Monty Hall 문제와 심슨의 역설 (Monty Hall, Simpson's Paradox)"를 바탕으로 정리한 내용입니다.📌 강의 영상: YouTube📄 강의 슬라이드: PDF 링크이번은 몇 개의 조건부 확률과 연관된 가장 유명한 문제를 다뤄본다.Monty Hall 문제3개의 문 중에 하나 뒤에는 자동차가, 나머지 두 개 뒤에는 염소가 있다. 참가자는 처음에 하나의 문을 고르고, 이후 진행자인 Monty가 남은 두 문 중 염소가 있는 문 하나를 열어 보여준다. 이때 참가자는 선택을 유지할지, 아니면 나머지 닫힌 문으로 바꿀지를 결정해야 한다. 이 문제에서 가장 중요한 전제는 ‘ M..

✔ 본 글은 Harvard Univ. Statistics 110: Probability 강의 "Lecture 5: 조건부 확률과 전확률정리 (Conditional Continued, Law of Total Probability)"를 바탕으로 정리한 내용입니다.📌 강의 영상: YouTube📄 강의 슬라이드: PDF 링크전체 확률의 법칙 (Law of Total Probability)표본공간 S에서 B의 확률을 구하고 싶다 할 때, 복잡한 B 사건을 작은 조각으로 나누어 각자의 확률을 구한 후 더하는 것이 좋다. 이때 작은 조각이라는 것은 아래와 같이 \(A_1 ... A_n \) 로 분할(partition)한 것인데, 각각의 집합인 직사각형들이 서로소이고 모두의 합집합이 S가 됨을 말한다.\[ P(B..

✔ 본 글은 Harvard Univ. Statistics 110: Probability 강의 "Lecture 4: 조건부 확률 (Conditional Probability)"를 바탕으로 정리한 내용입니다.📌 강의 영상: YouTube📄 강의 슬라이드: PDF 링크독립 (Independence)사건 중 하나가 다른 사건에 대한 정보를 주지 않는다는 것\[ P(A \cap B) = P(A)P(B) \]이 말은 A가 발생했는지 여부가 B의 발생 확률에 전혀 영향을 주지 않는다는 의미다. 그런데 이 개념을 배반 사건(Disjoint)과 혼동하는 경우가 많다. 배반 사건은 두 사건이 동시에 일어날 수 없다는 뜻이며, 교집합이 공집합이 된다.\[ P(A \cap B) = 0 \]즉, A가 일어나면 B는 반드시..

✔ 본 글은 Harvard Univ. Statistics 110: Probability 강의 "Lecture 3: Birthday Problem과 확률의 특성 (Birthday Problem, Properties of Probability)"를 바탕으로 정리한 내용입니다.📌 강의 영상: YouTube📄 강의 슬라이드: PDF 링크Birthday Problem어떤 파티에서 k명의 사람들의 그룹이 있다고 할 때 n(n>=2)명의 생일이 같을 확률이 얼마나 되는지. 그럼 몇 명의 사람이 있어야 최소한 50% 확률로 2명의 사람이 생일이 같을 수 있을까? (이는 365일 모두 동일한 확률을 가진다고 가정, 각각이 독립이라고도 가정) k > 365일 때는 확률은 1일 것 (반드시 누군가와 겹치기 때문) =>..

✔ 본 글은 Harvard Univ. Statistics 110: Probability 강의 "Lecture 2: 해석을 통한 문제풀이 및 확률의 공리 (Story Proofs, Axioms of Probability)"를 바탕으로 정리한 내용입니다.📌 강의 영상: YouTube📄 강의 슬라이드: PDF 링크Sampling 순서 중요 (order matter)순서 상관없음 (order doesn't)복원 추출 (replace = 중복 허용) \( n^k \)\( \binom{n + k - 1}{k} \)비복원 추출 (don't replace = 중복 비허용)\( n(n-1)\cdots(n-k+1) \)\( \binom{n}{k} \) 다른 경우들은 대부분 곱의 법칙으로 처리되지만, 순서 상관없이 복..

✔ 본 글은 Harvard Univ. Statistics 110: Probability 강의 "Lecture 1: 확률과 셈 원리 (Probability and Counting)"를 바탕으로 정리한 내용입니다.📌 강의 영상: YouTube📄 강의 슬라이드: PDF 링크표본공간(Sample Space, S)어떤 실험의 모든 가능한 결과의 집합 사건(Event, A)표본공간의 부분 집합 확률의 naive definition\[ P(A) = \frac{\text{A 사건이 일어나는 경우의 수}}{\text{전체 가능한 경우의 수}} \]> 단, 이 정의는 모든 결과가 같은 확률로 나올 것이라는 균등성(symmetric) 가정을 기반으로 한다. > 무한한 결과(예: 실수)일 경우에는 이 정의가 의미를 ..