Lecture 7: Gambler's Ruin and Random Variables

 

✔  본 글은 Harvard Univ. Statistics 110: Probability 강의 "Lecture 7: 도박꾼의 파산 문제와 확률변수 (Gambler's Ruin and Random Variables)"를 바탕으로 정리한 내용입니다.

📌 강의 영상: YouTube

📄 강의 슬라이드: PDF 링크

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Gambler's Ruin

도박꾼 A와 B가 매 라운드 $1씩 걸며 한 쪽이 파산할 때까지 진행하는 게임을 말한다.

• \( p = P\bigl(A\ \text{가 한 라운드를 이긴다}\bigr) \)
• \( q = 1 - p \)

• 0, N은 흡수상태(absorbing state), 즉 게임 종료
• \( p_i  \): A가 i 달러로 시작하여 게임을 이길 확률 = P(A가 게임을 이길 확률 | A가 i 달러를 가지고 있음)
  • \( p_i = p \cdot p_{i+1} + q \cdot p_{i-1} \qquad (1 \le i \le N-1) \)
  • \( p_0 = 0, \quad p_N = 1 \), 즉 자금이 0달러면 승리 확률 0, N달러면(모두 따면) 승리 확률 1
  • 이를 계차방정식(different equation)이라고 한다. (미분방정식의 이산 형태)

quessing을 통한 풀이:

\[ \text{(가정) } p_i = x^i \] \[ x^i = p\cdot x^{i+1} + q\cdot x^{i-1} \] \[ \Rightarrow\; p x^2 - x + q = 0 \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 p q}}{2p} \quad (q = 1-p \text{ 이므로 } 1-4pq=(2p-1)^2 \text{)} \] \[ \therefore\; x \in \{1,\; \tfrac{q}{p}\} \]
\[ \text{두 해가 서로 다를 때 (}p\neq q\text{) 일반해: } \quad p_i = A\cdot 1^i + B\cdot \Big(\tfrac{q}{p}\Big)^i = A + B\Big(\tfrac{q}{p}\Big)^i \] \[ \text{경계조건 } p_0=0,\; p_N=1 \text{ 을 적용하면} \] \[ p_0=A+B=0 \;\Rightarrow\; B=-A \] \[ p_N = A + B\Big(\tfrac{q}{p}\Big)^N = A\Big(1-\Big(\tfrac{q}{p}\Big)^N\Big) = 1 \] \[ \therefore\; A = \frac{1}{1 - \big(\tfrac{q}{p}\big)^N},\quad B = -\frac{1}{1 - \big(\tfrac{q}{p}\big)^N} \] \[ \boxed{ \; p_i = \frac{1 - \big(\tfrac{q}{p}\big)^i}{1 - \big(\tfrac{q}{p}\big)^{N}} \quad (p\neq q)\; } \] \[ \text{만약 } p=q\ (= \tfrac{1}{2}) \text{ 이면 } \tfrac{q}{p}\to 1 \text{ 이므로 (로피탈의 정리) 극한을 취하면} \] \[ \boxed{ \; p_i = \frac{i}{N} \quad (p=q=\tfrac{1}{2})\; } \]

 

 

해석:

1. 하우스와 같은 돈을 가지고 시작하고, 1% 정도로만 불공평한 게임이라 해도 게임을 계속하다 보면 이길 확률이 매우 적어지게 된다.

\(\text{if,}\) \(i = N-i, p = 0.49 \)

• \( N = 20 \Rightarrow\ 0.40 \)
• \( N = 100 \Rightarrow\ 0.12 \)
• \( N = 200 \Rightarrow\ 0.02 \)

 

2. 게임이 끝나지 않고 영원히 계속될 확률이 있는가?

게임이 공평한 상황에서 (p = q) B 가 (N - i) 달러를 갖고 이길 확률은 \( \frac{N - i}{N} \)

\( \text{따라서} \quad \frac{i}{N} + \frac{N - i}{N} = 1 \)

\( \Rightarrow \text{게임이 계속될 확률} = 0 \)

 

확률변수 (Random Variable)

표본공간 S부터 실수 체계 R로 mapping하는 '함수' (표본 공간 S 안의 함수이며, 실수에 대한 확률 시행이 있음)

예시1) 베르누이(Bernoulli) 확률변수

상수가 아닌 가장 간단한 예제는 확률변수 X가 값을 두 개(0, 1) 가지는 것이다.

\( P(X=1) = p, \quad P(X=0) = 1 - p \) 일 때, \( X \)는 Bernoulli(\(p\)) 분포를 따른다고 한다.

 

예시2) 이항(Binomial) 확률변수

n번의 독립적인 베르누이(\(p\)) 시행에서 성공 횟수의 분포는 \(\text{Bin}(n,p)\)를 따른다고 한다.

• 이항확률변수의 확률질량함수 (PMF): \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
• 이항확률변수의 특징:
  • \(X \sim \text{Bin}(n,p), \quad Y \sim \text{Bin}(m,p)\) 일 때, \( X + Y \sim \text{Bin}(n+m, p) \)